数学图形之单叶双曲面,炫彩动图新浦京www81707con:

这期光彩夺目动图,让大家重临好久不见的数学主旨。

若是早见到那一个图,数学也不会那么差了!

OpenCASCADE Conic to BSpline
Curves-Hyperbola

   
双曲线绕其对称轴旋转而转换的曲面即为双曲面。在数学里,双曲面是大器晚成种三遍曲面。
   
此中单叶双曲面能够用公式表明为:

本期动图像和文字件相对不是那么大,可是缺憾流量的无绳电话机党照旧请急迅关闭此页面。

一提到数学,可能过多个人都会以为特别高烧。。。面临四个个由数字字母构成的泛泛函数复杂公式,真是分分钟懵逼到变形。。。

eryar@163.com

   
(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)-(z^2)/(c^2)=1 

直与弯

新浦京www81707con 1

嗬?生龙活虎根直杆为啥能从弯屈曲曲的洞中穿过?

合计这件事实上不奇异。那根杆是斜着的,杆中间的点离旋转轴近日,因而相应的洞上的点离旋转轴也前段时间;杆的两侧离旋转轴较远,由此相应的洞上的点离旋转轴也远。所以,那几个洞不会是直线,只会是一条曲线。

那那是何许曲线?感兴趣的读者能够团结入手算风姿浪漫算。答案是双曲线。

把那个曲线绕旋转轴旋转一周,变成二个曲面,叫做单叶双曲面。看看下图你就能发觉,那根杆所在直线是其意气风发曲面包车型客车豆蔻梢头有个别:

新浦京www81707con 2

对于贰个曲面,假使经过曲面上的每一点都有生龙活虎根直线在曲面上,大家就叫做直纹曲面。圆柱面、圆锥面都以直纹曲面的例证,单叶双曲面也是这样,只但是它下面的直线看起来不是那么泾渭明显。单叶双曲面还会有一个美妙之处:通过它上面的每二个点,都有两条直线在曲面上。

新浦京www81707con 3图表来自:Wiki
Commons

如此的风味使得单叶双曲面在修建中间也是有特殊的利用,例如说俗称“小蛮腰“的华盛顿新电视机塔。

录制者:Shadow(该模型实物位于西班牙(Reino de España卡塔 尔(英语:State of Qatar)瓦伦西亚科学博物馆卡塔 尔(英语:State of Qatar)

若是那叁个复杂的数学公式原理都能像动画那么生动有意思,简练那该多好!

Abstract. Rational Bezier Curve can
represent conic curves such as circle, ellipse, hyperbola, .etc. But how
to convert a conic curve to BSpline curve is still question, i.e.
Represent a conic curve in BSpline form. The key point of Hyperbola
conversion is to calculate the 2nd pole and its weight factor. The paper
focus on the hyperbola convert to the BSpline curves. 

   
 新浦京www81707con 4

圆锥曲线

新浦京www81707con 5

世家都理解,椭圆、抛物线、双曲线这一个曲线称为“圆锥曲线”。但以此词是怎么来的吧?

既然如此叫圆锥曲线,当然与圆锥有关。首先,我们来假造一个圆锥——确切地说,是多个圆锥面。它是一条直线绕与它相交(但不垂直卡塔尔国的另一条直线旋转一周所形成的曲面。我们日常所见的圆锥体的侧边,只是圆锥面包车型的士生龙活虎部分。

下一场,大家用叁个平面去截它。平面与圆锥面相交之处,是一条曲线。由于整条曲线都在这里个平面上,大家能够把它看做多个平面曲线。那就是圆锥曲线。平面与圆锥的旋转轴所成的角度不一致,曲线就能化为分歧的形状:圆、椭圆、抛物线、双曲线(在那之中圆能够看成是生机勃勃种特殊的扁圆形卡塔尔。

对圆锥曲线的钻研是从古希腊共和国(Ελληνική Δημοκρατία卡塔尔国起首的。此时还一向不解析几何,地军事学家研究圆锥曲线的时候,选拔的就是下面的定义。古希腊(Ελλάδα卡塔 尔(英语:State of Qatar)化学家阿Polo尼奥斯就是从这么的定义出发,写下了八卷《圆锥曲线论》。

图中还显得了一些圆锥曲线的滞后意况:在平面经过圆锥的极点的时候,圆锥曲线会产生两条相交的直线,两条重合的直线,只怕八个点。

图表源于:mathgifs

咳咳。。。对的,Janthy君就整合治理了45组数学动漫,让那么些费解的数学原理和公式清豆蔻年华色动起来,让数学不再单调!(按轻易到复杂排序~)

Key Words. OpenCASCADE, Convert,
Hyperbola, BSplineCurve, Conic Curve 

   
在切实可行中,好些个发电厂的冷却塔结构是单叶双曲面形状。由于单叶双曲面是风姿洒脱种双重直纹曲面(ruled
GALAXY Tab)
,它能够用直的钢梁建造。那样,会巨惠扣风的阻力.同一时候,也可以用至少的材质来维系结

圆面积公式

新浦京www81707con 6

圆面积公式S
=πr2大家都学过,你还记得课本中如何讲明那一个公式的推理吗?在自个儿那时求学的人事教育版的讲义中,是把圆剪成了三个个小扇形,然后把它们就如地拼成一个长为πr,宽为r的矩形。扇形裁得越小,拼出来的东西也就越挨近矩形,然后用矩形的面积公式就足以测算了。

而那边用了另意气风发种艺术:把圆拆成一个个合力攻敌的细圆环。然后,把这一个圆环打开,形成高为r,底边长为2πr的的三角。当然,这谈不上是稳重的注明,但里面已经富含了一些微积分的思忖。大家仍然是能够运用相符于古希腊共和国(The Republic of Greece卡塔 尔(英语:State of Qatar)穷竭法的办法,把它写成贰个对峙稳重的认证。

图形来自:数学图形之单叶双曲面,炫彩动图新浦京www81707con:。matthen 戳这里能够看看原文者的Mathematica代码。

1

1. Introduction

构的完整.

最为雪花

新浦京www81707con 7

“分形”这些词我们可能早已见过很频仍了。它的表征是自肖似。举个例子说,上海体育场地中的Koch曲线,它的有的放大之后和全体长得大同小异。

那那样的曲线是怎么着画出来的吗?

我们先画一条线条,然后把它三等分,将中等的那风流浪漫段换来两段同样长的线条。那样,大家就有了四条线条。对那四条线条也再次那风华正茂进度。每重复叁遍,称为壹遍迭代。无限地迭代下去现在,大家就得到了Koch曲线。当然,实际画图的时候,不容许真正Infiniti迭代下去,平常只需求迭代有限数十三回,直到看不出差距了竣事。

Matrix67在他的博客中也显得过科赫曲线的绘图进度:

新浦京www81707con 8

在这里还足以阅览一个三个维度的分形动图,3D眩晕者慎点。

图表来源:functor.co

三角形形内角和为**180º**

圆锥截线(Conic或称为壹遍曲线卡塔 尔(阿拉伯语:قطر‎和圆在CAD/CAM中存有分布应用。无可置疑NURBS的叁个最大优点就是不仅可以精确表示圆锥截线和圆,也能确切表示自由曲线曲面。这么些优点的意思是造福编程,使全数的曲线可以动用统生龙活虎的数据结构来代表。通过客观的方式能够准确来代表这个一遍曲线,那么给定叁个二次曲线的有关参数(如圆的圆心和半径等卡塔 尔(阿拉伯语:قطر‎,如何协会出相应的NURBS曲线呢? 

   
本文将体现三种变化单叶双曲面算法和切图.使用本人定义语法的脚本代码生成数学图形.相关软件参见:数学图形可视化学工业具,该软件无需付费开源.QQ沟通群:
367752815

朱那格浦尔集

新浦京www81707con 9

那是此外风度翩翩种分形——朱多哥洛美集(Juliaset卡塔 尔(英语:State of Qatar)。什么是朱尼斯集?我们首先固定八个常数C,对复平面上的二个点,不断地重复实行调换z→z2+C。那样获得的一些点会越跑越远,一贯趋势于无穷;而另一些点则间接呆在原点左近,不会跑出三个点儿范围。第二类的点所构成的聚焦,正是朱利伯维尔集。当常数C取值不一样期,画出来的朱那格浦尔集也会分化。上边的动图就显得了在C变化时朱伊兹密尔集的变型。由这种办法转换的分形图案被称得上“逃逸时间分形”。

唯独,严刻来讲,上面所说的只是“填充”的朱里昂集(filled-in Juliaset卡塔 尔(阿拉伯语:قطر‎。真正的朱卡托维兹集是它的分界,也便是上海体育场所中的玉青色线条部分。前边所讲的转移,只是三个一遍多项式。对于“填充”的朱圣克Russ集,这些概念能够扩充到平日的多项式。对于确实的朱萨拉热窝集,仍然为能够加大到分式。

而真正的朱热那亚集又有此外意气风发种画法:

新浦京www81707con 10图形源于:blog.matthen.com

先接受部分点,然后对它们不断地拓宽该转换的“转败为胜换”——正确的传教是取它们在此个转变下的原像,而三个点的原像往往不止一个。对转换z→z2+C来说,它的原像就是先减去常数C——在图上看来正是运动;然后开平方根——三个数的平方根有多少个,在图上看来是先扭意气风发扭,再复制二个到下半平面。每一步都二个变五个,由此出来的点会更加的多。这几个点的终端便是朱雷克雅未克集。

图片来源于:Wiki Commons

2

圆锥截线(Conic
curves卡塔 尔(阿拉伯语:قطر‎是一个平面与叁个圆锥相交发生的曲线集结。平面与圆锥相交的角度分化产生不一样的截线。如下图所示: 

(1)

布朗树

新浦京www81707con 11

那又是别的大器晚成种等级次序的分形——Brown树,生成这种分形的历程,则号称扩散节制聚焦(Diffusion-limited
aggregation,简单称谓DLA卡塔尔国。

那进程提起来也很简短:大家有成都百货上千粒子和大器晚成枚“种子”,粒子在半空中中专断游走,但即使蒙受种子就能够在会集它上面。种子上会面的粒子更加的多,就团体带头人成意气风发棵有着积重难返的布局的“大树”。

Koch曲线和朱波尔多集都很雅观,但在日常生活中不太轻易见到。Brown树就不等同了,咱们能够在相当多地点来看自然产生的Brown树构造,举例说,在皮蛋上:

新浦京www81707con 12图表来源于:imgbuddy.com

(越来越多读书:#TIL#松花蛋上得以看看分形)

图表来源于:matthen  戳这里能够看看原来的著小编的Mathematica代码。

PS:和前几期物理、化学的动图相比,本期是还是不是少了点吗?嗯,下边就让大家把危殆评估那项给补上吧……

新浦京www81707con 13图形来源:spikedmath.com
汉化:Ent

(编辑:窗敲雨)

对这一期题图的详尽剖析请看:那张数学爱心图的上的种种成分分别是怎样意思?

多方形外角和为360º

新浦京www81707con 14

vertices = dimension1:72 dimension2:72

u = from 0 to (2*PI) dimension1
v = from (-4) to (4) dimension2

x = cosh(v)*cos(u)
z = cosh(v)*sin(u)
y = sinh(v)

(那张图片来源于可乐学习卡塔尔

Figure 1.1 Conic Sections 

新浦京www81707con 15

3

OpenCASCADE中对应双曲线的隐式方程表示的类是gp_Hypr/gp_Hypr2d。本文主要介绍OpenCASCADE中怎么着利用包Convert将gp_Parab2d转换为NURBS曲线。 

(2)

怎样将三个正三角形剪拼成正方形?

2. Parametric Representations

单叶双曲面是意气风发种直纹面(Ruled_苹果平板卡塔 尔(阿拉伯语:قطر‎,即它是由后生可畏族直线铺成的曲面。直线
x=1, y=t, z=2t 绕 z
轴旋转得到的单叶双曲面。下边是使用直线生成单叶双曲面包车型大巴例子:

4

在CAD/CAM的运用中,圆锥截线有二种主要的参数表示形式:有理情势和最大内接面积情势(Rational
and maximum inscribed area
forms卡塔尔。表示双曲线的最大内接面积形式,如下所示: 

vertices = dimension1:72 dimension2:72

u = from 0 to (2*PI) dimension1
v = from (-10) to (10) dimension2

x = cos(u) - v*sin(u)
z = sin(u) + v*cos(u)
y = 2*v

怎么把两长方形剪拼成叁个大正方形?

新浦京www81707con 16

新浦京www81707con 17

5

当中chu和shu为双曲函数: 

(3)椭圆开口的率性单叶双曲面

怎么样把一个四边形剪拼成一个纺锤形?

新浦京www81707con 18

vertices = dimension1:72 dimension2:72

u = from 0 to (2*PI) dimension1
v = from (-5) to (5) dimension2

a = rand2(1, 5)
b = rand2(1, 5)
c = rand2(1, 5)

x = a*sqrt(1 + v*v)*cos(u)
z = b*sqrt(1 + v*v)*sin(u)
y = c*v

6

圆锥截线的有一些有理参数表示方式或者是有一定差的参数化,即均匀分布的参数值对应于曲线上布满特不均匀的点。利用线性有理函数对创设曲线进行再一次参数化可以改动(由此大概改进卡塔尔其参数化。 

新浦京www81707con 19

莫比乌斯带

假使C(u)=(x(u),
y(u))是一条在正经八百位置的圆锥截线的参数表示。未来大家对双曲线给出的参数方程也是上式,它是多少个好的参数化:对于自由给定的整数n和参数边界a与b,取n个等间距分布的参数: 

(4)椭圆开口的人身自由单叶双曲面,另大器晚成种写法

(那张图纸来源于徐小湛的博客卡塔尔

新浦京www81707con 20

vertices = D1:100 D2:100
u = from 0 to (2*PI) D1
v = from (-PI*0.45) to (PI*0.45) D2

a = rand2(1, 10)
b = rand2(1, 10)
c = rand2(1, 10)

x = a*sec(v)*sin(u)
y = b*tan(v)
z = c*sec(v)*cos(u)

7

点C(u1),C(u2), …,
C(un)形成曲线上n-1边多边形,它的密封多边形具备最大的内接面积。 

新浦京www81707con 21

正方体展开图

3. Conversion Algorithm

(5)单叶双曲面包车型大巴上半局地

(那张图纸来自可乐学习卡塔 尔(英语:State of Qatar)

将隐式表示的双曲线方程调换为NURBS(有理Bezier是NURBS的特例卡塔 尔(阿拉伯语:قطر‎曲线须要明确NURBS的以下新闻:节点矢量,权因子,次数,调控极点。 

 

8

圆锥截线是贰次曲线,所以次数为2。依据参数方程的最大内接面积表示法能够求出节点矢量。所以调换的第一是计量调控第4个极端及其权因子。由有理Bezier曲线的公式得二遍有理Bezier曲线弧的表示格局为: 

vertices = dimension1:72 dimension2:72
u = from (PI*0.05) to (PI*0.499) dimension1
v = from 0 to (2*PI) dimension2
a = rand2(1, 5)
b = rand2(1, 5)
c = rand2(1, 5)
x = a*cosh(u)*cos(v)
z = b*cosh(u)*sin(v)
y = c*sinh(u)

圆周率

新浦京www81707con 22

 

9

称k为形状不改变因子,公式如下所示: 

新浦京www81707con 23

圆的面积

新浦京www81707con 24

(6)单叶双曲面包车型大巴下半部分


能够印证同大器晚成组调控极点选用不一样的权因子,只要形状因子k相等,则由它们决定的一回有理Bezier曲线是平等条曲线段,不一致的权因对应分裂的参数化,并且能够根据形状不改变因子对叁次曲线举办归类: 

 


v K=0;       表示退化的三回曲线:大器晚成对直线段P0P1和P1P2; 

vertices = dimension1:72 dimension2:72
u = from (-PI*0.499) to (-PI*0.01) dimension1
v = from 0 to (2*PI) dimension2
a = rand2(1, 5)
b = rand2(1, 5)
c = rand2(1, 5)
x = a*cosh(u)*cos(v)
z = b*cosh(u)*sin(v)
y = c*sinh(u)

10

v K∈[0,1];  表示双曲线; 

 

**号下a在数轴上的岗位**

v K=1;       表示抛物线; 

新浦京www81707con 25

11

v K∈[1, +∞]; 表示椭圆; 

(7)直线 随机旋转面

勾股定理及其表明

v K=+∞;     表示连接P0和P2的直线段; 

vertices = 100
u = from -10 to 10

a = rand2(-5, 5)
b = rand2(-5, 5)

x = u
y = (x + a) + b

i = rand2(-2, 2)
j = rand2(-2, 2)
k = rand2(-2, 2)

surface_slices = 72
rotate = anchor[0, 0, 0], axis[i, j, k], angle[0, 2*PI]

12

习贯上我们筛选ω0=ω2=1号称规范参数化。那个时候只剩余调整极点P1的权因子ω1。 

新浦京www81707con 26

勾股“树”

新浦京www81707con 27

 

13

Figure 3.1 分化的权因子ω1 定义的圆锥截线 

**安静滚动的正多边形**

由一回有理Bezier曲线公式可以预知,当u=0和u=1时,C(0)=P0,
C(1)=P2,即曲线通过特征多边形的首末极点。由此可鲜明抛物线的八个调节极点P0和P2,今后只剩余最后三个P1极点未规定。 


由端点处的切矢公式可以预知,调节多边形通过首末端点且第四个调整极点P1是因此两端点的切线的交点。依据直接线点向式能够列出直线方程来求出交点即P1点的坐标。 

14

新浦京www81707con 28

弧长等于半径的弧,其所对的圆心角为1弧度。

计量得交点P1的坐标如下所示: 

图形来自:LucasVB(1ucasvb卡塔尔国

新浦京www81707con 29

15

基于双曲线的参数方程得: 

函数广播体操

新浦京www81707con 30


将上述值代入交点坐标公式得交点P1的坐标与参数u的关系式为: 

16

新浦京www81707con 31

sin和cos的竞逐玩耍

基于肩点公式及点P1,可计算出权因子的ω1值,公式如下所示: 

图片小编:卢卡sVB(1ucasvb

新浦京www81707con 32

17

求得P1点对应的权因子ω1的值为: 

正弦余弦的长空显得

新浦京www81707con 33


迄今截至,双曲线的八个调控极点P0,P1,P2皆已经计算出来了。即双曲线的NURBS表示所需的数码都已赢得了。下边看看OpenCASCADE中的实今世码。 

18

4. Code Analysis

正切线

OpenCASCADE的Math工具集中有个包Covert用来将圆锥曲线曲面调换为NURBS曲线曲面。当中间转播换双曲线的类为:Convert_HyperbolaToBSplineCurve,实今世码如下所示: 

19

//=======================================================================
//function : Convert_HyperbolaToBSplineCurve
//purpose  : 
//=======================================================================

Convert_HyperbolaToBSplineCurve::Convert_HyperbolaToBSplineCurve 
  (const gp_Hypr2d&    H , 
   const Standard_Real U1,
   const Standard_Real U2 )

: Convert_ConicToBSplineCurve (MaxNbPoles, MaxNbKnots, TheDegree) 
{
  Standard_DomainError_Raise_if( Abs(U2 - U1) < Epsilon(0.),
                "Convert_ParabolaToBSplineCurve");

  Standard_Real UF = Min (U1, U2);
  Standard_Real UL = Max( U1, U2);

  nbPoles = 3;
  nbKnots = 2;
  isperiodic = Standard_False;
  knots->ChangeArray1()(1) = UF;  mults->ChangeArray1()(1) = 3;  
  knots->ChangeArray1()(2) = UL;  mults->ChangeArray1()(2) = 3;  

  // construction of hyperbola in the reference xOy.

  Standard_Real R = H.MajorRadius();
  Standard_Real r = H.MinorRadius();
  gp_Dir2d Ox = H.Axis().XDirection();
  gp_Dir2d Oy = H.Axis().YDirection();
  Standard_Real S = ( Ox.X() * Oy.Y() - Ox.Y() * Oy.X() > 0.) ?  1 : -1;

  // poles expressed in the reference mark
  // the 2nd pole is at the intersection of 2 tangents to the curve
  // at points P(UF), P(UL)
  // the weight of this pole is equal to : Cosh((UL-UF)/2)

  weights->ChangeArray1()(1) = 1.;
  weights->ChangeArray1()(2) = Cosh((UL-UF)/2);
  weights->ChangeArray1()(3) = 1.;

  Standard_Real delta = Sinh(UL-UF);
  Standard_Real x =     R * ( Sinh(UL) - Sinh(UF)) / delta;
  Standard_Real y = S * r * ( Cosh(UL) - Cosh(UF)) / delta;
  poles->ChangeArray1()(1) = gp_Pnt2d( R * Cosh(UF), S * r * Sinh(UF));
  poles->ChangeArray1()(2) = gp_Pnt2d( x, y);
  poles->ChangeArray1()(3) = gp_Pnt2d( R * Cosh(UL), S * r * Sinh(UL));

  // replace the bspline in the mark of the hyperbola
  gp_Trsf2d Trsf;
  Trsf.SetTransformation( H.Axis().XAxis(), gp::OX2d());
  poles->ChangeArray1()(1).Transform( Trsf);
  poles->ChangeArray1()(2).Transform( Trsf);
  poles->ChangeArray1()(3).Transform( Trsf);
}

圆和三角函数

由地点的代码可以预知,先安装曲线次数为2,再设置节点矢量为[UF,UF,UF,UL,UL,UL],即首参数UF和末参数UL的重数皆为3,由节点矢量可以预知转换后的NURBS曲线为Bezier曲线。(抛出分外的提醒新闻尚未改良来,照旧抛物线的。卡塔 尔(阿拉伯语:قطر‎ 


安装八个调节极点及其对应的权因子,总结首要涉及到第二个调节极点P1的权因子。 

20

最终依照有理Bezier曲线的仿射不改变性:对有理Bezier曲线进行旋转、平移和缩放变换,其表明式不改变,只是调整点产生了转移。新的调控点能够经过对原调整点作调换得到。即要对有理Bezier曲线进行仿射转换,只需对其调节点作调换就能够。 

画抛物线

圆锥截线的调换类的施用是很粗略的,且计量都以在构造函数中造成。下边给出三个将双曲线调换为NURBS曲线的实际示例来评释其用法。 

21

/*
*    Copyright (c) 2014 eryar All Rights Reserved.
*
*        File    : Main.cpp
*        Author  : eryar@163.com
*        Date    : 2014-10-06 20:46
*        Version : 1.0v
*
*    Description : OpenCASCADE conic to BSpline curve-Hyperbola.
*
*      Key words : OpenCascade, Hyperbola, BSpline Curve, Convert
*/

#define WNT
#include <gp_Hypr2d.hxx>

#include <Convert_HyperbolaToBSplineCurve.hxx>

#pragma comment(lib, "TKernel.lib")
#pragma comment(lib, "TKMath.lib")


void DumpConvertorInfo(const Convert_ConicToBSplineCurve &theConvertor)
{
    std::cout << "Degree: " << theConvertor.Degree() << std::endl;

    std::cout << "Poles/Weights: " << std::endl;
    for (Standard_Integer i = 1; i <= theConvertor.NbPoles(); ++i)
    {
        const gp_Pnt2d &aPole = theConvertor.Pole(i);

        std::cout << i << ": " << aPole.X() << ", " << aPole.Y() << " w(" << theConvertor.Weight(i) << ")" << std::endl;
    }

    std::cout << "Knots: " << std::endl;
    for (Standard_Integer j = 1, m = 0; j <= theConvertor.NbKnots(); ++j)
    {
        for (Standard_Integer k = 1; k <= theConvertor.Multiplicity(j); ++k)
        {
            std::cout << ++m << ": " << theConvertor.Knot(j) << std::endl;
        }
    }

    std::cout << "==========================================" << std::endl;
}

void TestHyperbolaConvert(void)
{
    gp_Hypr2d aHyperbola;

    aHyperbola.SetMajorRadius(2.0);
    aHyperbola.SetMinorRadius(1.0);

    Convert_HyperbolaToBSplineCurve aConvertor(aHyperbola, 1.0, M_PI);

    std::cout << "Convert Hyperbola to BSpline Curve: " << std::endl;
    DumpConvertorInfo(aConvertor);
}

int main(int argc, char* argv[])
{
    TestHyperbolaConvert();

    return 0;
}

双曲线

前后相继输出结果如下所示: 

22

新浦京www81707con 34

圆锥曲线

Figure 4.1 Convert Hyperbola to BSpline Curve result 

23

5. Conclusion

奇妙的数学之心

NURBS的三个优势便是统一了曲线曲面包车型地铁代表方法,即不仅可以够表示自由曲线曲面,还可准确表示圆锥曲线曲面。本文详细介绍了OpenCASCADE旅长双曲线转变为NURBS的算法:即基于二回有理Bezier曲线的端点性质,求出过多个端点切线的交点来测算出第四个调整极点P1进而总括出相应的权因子。 


测算中山大学量采用到了双曲函数shx和chx的片段性质,相美髯公式可参看《数学手册》。 

24

6. References

单叶双曲面

  1. 人教社中学数学室. 数学第二册(上卡塔 尔(英语:State of Qatar). 人教社. 二零零二 

  2. 数学手册编写组. 数学手册. 高教出版社. 一九七六 

  3. 赵罡,穆国旺,王拉柱译. 非均匀有理B样条. 哈工业余大学学东军事和政院学出版社. 二〇〇九 

  4. 王仁宏,李崇君,朱春钢. 总结几何教程. 科学出版社. 二〇一〇

(华盛顿TV塔“小蛮腰”卡塔 尔(阿拉伯语:قطر‎

PDF Version: OpenCASCADE Conic to BSpline
Curves-Hyperbola

25

**矩阵转置**


26

**尺规作图正三角形**


27

尺规作图正五边形


28

尺规作图正六边形

29

最速降线

30

旋轮线(摆线)

(那张图片来自徐小湛的博客卡塔尔

31

心形线(当多个圆半径相等时的圆外旋轮线卡塔尔国

32

定积分的相像总计

新浦京www81707con,33

二重积分的黎曼和

(那张图纸源于徐小湛的博客卡塔尔

34

Koch曲线(雪花曲线卡塔尔

(那张图片来源Matrix67的博客卡塔尔国

35

Dragon curve

(那张图纸来源于Matrix67的博客卡塔 尔(英语:State of Qatar)

36

极端星型

37

**平面和圆环面包车型大巴生龙活虎种新鲜交线:Villarceau circles**

38

三维分形

39

布朗树

40、

傅立叶转换

41

正劈锥体

(那张图片来源徐小湛的博客卡塔尔

42

维维安尼曲线

(这张图片来源徐小湛的博客卡塔尔国

43

等速明轮叶(阿基米德螺旋桨卡塔 尔(英语:State of Qatar)


(那张图纸来源于徐小湛的博客卡塔尔

44

非常的小概图形

45

极坐标的法力

图片小编:LucasVB(1ucasvb卡塔尔国

是或不是瞬间认为

数学也好有趣哦!

。。。

小编:Wechat大伙儿号“木木西里”

相关文章