你会发觉数学原来是那样有意思,炫丽动图新浦京www81707con

本期炫丽动图,让大家回去好久不见的数学大旨。

借使早看到那些图,数学也不会那么差了!

OpenCASCADE Conic to BSpline
Curves-Hyperbola

   
双曲线绕其对称轴旋转而改造的曲面即为双曲面。在数学里,双曲面是一种二回曲面。
   
在那之中单叶双曲面能够用公式表达为:

本期动图像和文字件相对不是那么大,然则可惜流量的无绳电话机党照旧请连忙关闭此页面。

一提到数学,大概过多个人都会感觉卓殊发烧。。。面对2个个由数字字母构成的泛泛函数复杂公式,真是分分钟懵逼到变形。。。

eryar@163.com

   
(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)-(z^2)/(c^2)=1 

直与弯

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啊?1根直杆为何能从弯弯曲曲的洞中穿过?

想想那实则不意外。那根杆是斜着的,杆中间的点离旋转轴近来,由此相应的洞上的点离旋转轴也目前;杆的两边离旋转轴较远,由此相应的洞上的点离旋转轴也远。所以,这几个洞不会是直线,只会是一条曲线。

那那是如何曲线?感兴趣的读者可以协调入手算一算。答案是双曲线。

把那些曲线绕旋转轴旋转一周,产生1个曲面,叫做单叶双曲面。看看下图你就会发觉,那根杆所在直线是其1曲面包车型客车1部分:

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对于二个曲面,假如由此曲面上的每一点都有一根直线在曲面上,我们就叫做直纹曲面。圆柱面、圆锥面都是直纹曲面包车型地铁例证,单叶双曲面也是那样,只可是它下面的直线看起来不是那么分明。单叶双曲面还有一个奇妙的地方:通过它上面包车型客车每一种点,都有两条直线在曲面上。

新浦京www81707con 3图形来源:Wiki
Commons

如此那般的特点使得单叶双曲面在修建中间也有异样的运用,比如说俗称“小蛮腰“的迈阿密新电视机塔。

录制者:Shadow(该模型实物位于西班牙(Reino de España)瓦伦西亚科学博物馆)

若果那个复杂的数学公式原理都能像动画那么生动风趣,简洁明了那该多好!

Abstract. Rational Bezier Curve can
represent conic curves such as circle, ellipse, hyperbola, .etc. But how
to convert a conic curve to BSpline curve is still question, i.e.
Represent a conic curve in BSpline form. The key point of Hyperbola
conversion is to calculate the 2nd pole and its weight factor. The paper
focus on the hyperbola convert to the BSpline curves. 

   
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圆锥曲线

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世家都明白,椭圆、抛物线、双曲线那几个曲线称为“圆锥曲线”。但那一个词是怎么来的吧?

既然叫圆锥曲线,当然与圆锥有关。首先,我们来设想三个圆锥——确切地说,是多个圆锥面。它是一条直线绕与它相交(但不垂直)的另一条直线旋转八日所变成的曲面。大家平日所见的圆锥体的侧面,只是圆锥面包车型地铁1某些。

接下来,大家用七个平面去截它。平面与圆锥面相交之处,是一条曲线。由于整条曲线都在那几个平面上,大家能够把它当做二个平面曲线。那正是圆锥曲线。平面与圆锥的旋转轴所成的角度差别,曲线就会成为不一样的样子:圆、椭圆、抛物线、双曲线(当中圆可以用作是一种特有的扁圆形)。

对圆锥曲线的钻研是从古希腊语(Greece)开首的。那时还并未有解析几何,化学家研讨圆锥曲线的时候,选择的正是地方的概念。古希腊共和国(The Republic of Greece)地国学家阿Polo尼奥斯便是从这么的概念出发,写下了8卷《圆锥曲线论》。

图中还显得了一些圆锥曲线的滑坡意况:在平面经过圆锥的终端的时候,圆锥曲线会变成两条相交的直线,两条重合的直线,或然3个点。

图形来自:mathgifs

你会发觉数学原来是那样有意思,炫丽动图新浦京www81707con。咳咳。。。没有错,Janthy君就打点了四五组数学动画,让那贰个费解的数学原理和公式统统动起来,让数学不再单调!(按轻巧到复杂排序~)

Key Words. OpenCASCADE, Convert,
Hyperbola, BSplineCurve, Conic Curve 

   
在具体中,很多发电厂的冷却塔结构是单叶双曲面形状。由于单叶双曲面是1种双重直纹曲面(ruled
三星平板)
,它能够用直的钢梁建造。那样,会减小风的阻力.同时,也得以用最少的素材来维系结

圆面积公式

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圆面积公式S
=πr2我们都学过,你还记得课本中哪些解说那几个公式的演绎吗?在自家那时候学习的人事教育版的课本中,是把圆剪成了三个个小扇形,然后把它们看似地拼成一个长为πr,宽为r的矩形。扇形裁得越小,拼出来的东西也就越接近矩形,然后用矩形的面积公式就能够计算了。

而那里用了另1种方式:把圆拆成3个个同心的细圆环。然后,把这几个圆环展开,形成高为r,底边长为二πr的的三角。当然,这谈不上是小心的验证,但里边已经包括了一部分微积分的考虑。大家竟然能够运用类似于古希腊共和国穷竭法的办法,把它写成2个相对谨慎的求证。

图片来自:matthen 戳这里可以看出原文者的Mathematica代码。

1

1. Introduction

构的完整.

极端雪花

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“分形”那些词大家大概早已见过很频仍了。它的特色是自相似。比如说,上航海用体育场面中的Koch曲线,它的1部分放大之后和完全长得壹模同样。

那那样的曲线是怎样画出来的啊?

大家先画一条线条,然后把它3等分,将中间的那一段换来两段同样长的线条。那样,大家就有了4条线条。对那4条线条也再一次那1经过。每重复3次,称为一回迭代。Infiniti地迭代下去现在,大家就赢得了Koch曲线。当然,实际画图的时候,不可能确实Infiniti迭代下去,日常只要求迭代有限多次,直到看不出分裂了截至。

Matrix67在他的博客中也展现过Koch曲线的绘图进度:

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在这里还足以观看2个三维的分形动图,3D眩晕者慎点。

图形来源于:functor.co

三角形形内角和为**180º**

圆锥截线(Conic或称为一回曲线)和圆在CAD/CAM中具备普及应用。毫无疑问NURBS的2个最大优点正是既能精确表示圆锥截线和圆,也能精确表示自由曲线曲面。这一个优点的含义是便宜编制程序,使全部的曲线能够应用统1的数据结构来表示。通过客观的艺术得以规范来代表这个一回曲线,那么给定二个壹遍曲线的连带参数(如圆的圆心和半径等),如何协会出相应的NURBS曲线呢? 

   
本文将显得三种改造单叶双曲面算法和切图.使用本身定义语法的台本代码生成数学图形.相关软件参见:数学图形可视化学工业具,该软件无偿开源.QQ交换群:
367752815

朱克赖斯特彻奇集

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这是此外壹种分形——朱罗兹集(Juliaset)。什么是朱多哥洛美集?大家率先固定多个常数C,对复平面上的一个点,不断地重复进行转换z→z2+C。这样得到的局地点会越跑越远,一贯趋向于无穷;而另1些点则向来呆在原点周边,不会跑出多少个点滴范围。第二类的点所构成的聚合,正是朱金斯敦集。当常数C取值分化时,画出来的朱孟菲斯集也会分裂。上边的动图就显得了在C变化时朱卡托维兹集的成形。由那种措施转换的分形图案被称之为“逃逸时间分形”。

只是,严刻来说,上边所说的只是“填充”的朱路易斯维尔集(filled-in Juliaset)。真正的朱华雷斯集是它的疆界,也便是上海图书馆中的白色线条部分。前边所讲的调换,只是三个三次多项式。对于“填充”的朱多特Mond集,那一个定义可以放大到1般的多项式。对于真正的朱汉密尔顿集,还足以松开到分式。

而真正的朱卡托维兹集又有其余1种画法:

新浦京www81707con 10图片来源于:blog.matthen.com

先采取部分点,然后对它们不断地张开该转变的“逆袭换”——准确的传教是取它们在那几个调换下的原像,而二个点的原像往往不止二个。对转变z→z2+C来讲,它的原像正是先减去常数C——在图上看来就是移动;然后开平方根——3个数的平方根有多个,在图上看来是先扭一扭,再复制贰个到下半平面。每一步都二个变多个,由此出来的点会更多。这个点的极端就是朱卡托维兹集。

图表源于:Wiki Commons

2

圆锥截线(Conic
curves)是3个平面与二个圆锥相交发生的曲线集合。平面与圆锥相交的角度不一致发生差别的截线。如下图所示: 

(1)

布朗树

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那又是其它壹连串型的分形——布朗树,生成那种分形的进度,则号称扩散限制聚集(Diffusion-limited
aggregation,简称DLA)。

那进度聊起来也很简单:大家有过多粒子和1枚“种子”,粒子在半空中中随机游走,但纵然遇到种子就会在集合它下边。种子上聚集的粒子越多,就组织首领成1棵有着错综复杂的结构的“大树”。

科赫曲线和朱圣克鲁斯集都很美,但在经常生活中不太轻便看到。Brown树就差异样了,大家能够在重重地方看看自然产生的Brown树构造,比如说,在皮蛋上:

新浦京www81707con 12图形来源于:imgbuddy.com

(更多读书:#TIL#松花蛋上得以见见分形)

图表源于:matthen  戳这里能够看到原版的书文者的Mathematica代码。

PS:和前几期物理、化学的动图相比较,那期是否少了点什么?嗯,下边就让大家把危急评估那项给补上吧……

新浦京www81707con 13图片来源于:spikedmath.com
汉化:Ent

(编辑:窗敲雨)

对本期题图的详细分析请看:那张数学爱心图的上的各种成分分别是何许看头?

多方形外角和为360º

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vertices = dimension1:72 dimension2:72

u = from 0 to (2*PI) dimension1
v = from (-4) to (4) dimension2

x = cosh(v)*cos(u)
z = cosh(v)*sin(u)
y = sinh(v)

(那张图片来源可乐学习)

Figure 1.1 Conic Sections 

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3

OpenCASCADE中对应双曲线的隐式方程表示的类是gp_Hypr/gp_Hypr2d。本文首要介绍OpenCASCADE中怎样利用包Convert将gp_Parab2d转换为NURBS曲线。 

(2)

怎么样将一个正三角形剪拼成长方形?

2. Parametric Representations

单叶双曲面是1种直纹面(Ruled_平板电脑),即它是由1族直线铺成的曲面。直线
x=一, y=t, z=贰t 绕 z
轴旋转得到的单叶双曲面。下边是行使直线生成单叶双曲面的例子:

4

在CAD/CAM的采纳中,圆锥截线有二种关键的参数表示情势:有理情势和最大内接面积格局(Rational
and maximum inscribed area
forms)。表示双曲线的最大内接面积情势,如下所示: 

vertices = dimension1:72 dimension2:72

u = from 0 to (2*PI) dimension1
v = from (-10) to (10) dimension2

x = cos(u) - v*sin(u)
z = sin(u) + v*cos(u)
y = 2*v

何以把两星型剪拼成三个大纺锤形?

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5

内部chu和shu为双曲函数: 

(3)椭圆开口的专擅单叶双曲面

何以把一个4边形剪拼成多个正方形?

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vertices = dimension1:72 dimension2:72

u = from 0 to (2*PI) dimension1
v = from (-5) to (5) dimension2

a = rand2(1, 5)
b = rand2(1, 5)
c = rand2(1, 5)

x = a*sqrt(1 + v*v)*cos(u)
z = b*sqrt(1 + v*v)*sin(u)
y = c*v

6

圆锥截线的某些有理参数表示情势可能是有一定差的参数化,即均匀分布的参数值对应于曲线上分布很不均匀的点。利用线性有理函数对客观曲线实行重复参数化能够退换(由此可能改善)其参数化。 

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莫比乌斯带

要是C(u)=(x(u),
y(u))是一条在正规地点的圆锥截线的参数表示。未来大家对双曲线给出的参数方程也是上式,它是贰个好的参数化:对于随意给定的整数n和参数边界a与b,取n个等间隔分布的参数: 

(四)椭圆开口的4意单叶双曲面,另壹种写法

(那张图片来自徐小湛的博客)

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vertices = D1:100 D2:100
u = from 0 to (2*PI) D1
v = from (-PI*0.45) to (PI*0.45) D2

a = rand2(1, 10)
b = rand2(1, 10)
c = rand2(1, 10)

x = a*sec(v)*sin(u)
y = b*tan(v)
z = c*sec(v)*cos(u)

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点C(u1),C(u贰), …,
C(un)产生曲线上n-一边多边形,它的密闭多边形具备最大的内接面积。 

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正方体张开图

3. Conversion Algorithm

(5)单叶双曲面包车型地铁上半有的

(那张图纸源于可乐学习)

将隐式表示的双曲线方程调换为NURBS(有理Bezier是NURBS的特例)曲线须要规定NURBS的以下音讯:节点矢量,权因子,次数,调整顶点。 

 

8

圆锥截线是三回曲线,所以次数为贰。根据参数方程的最大内接面积表示法能够求出节点矢量。所以调换的要害是总结调控第2个极点及其权因子。由有理Bezier曲线的公式得一次有理Bezier曲线弧的象征方式为: 

vertices = dimension1:72 dimension2:72
u = from (PI*0.05) to (PI*0.499) dimension1
v = from 0 to (2*PI) dimension2
a = rand2(1, 5)
b = rand2(1, 5)
c = rand2(1, 5)
x = a*cosh(u)*cos(v)
z = b*cosh(u)*sin(v)
y = c*sinh(u)

圆周率

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称k为形状不改变因子,公式如下所示: 

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圆的面积

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(6)单叶双曲面包车型客车下半部分


能够证实同一组调整顶点采取不相同的权因子,只要形状因子k相等,则由它们决定的三遍有理Bezier曲线是一样条曲线段,分歧的权因对应分裂的参数化,而且能够依据形状不改变因子对二回曲线实行分类: 

 


v K=0;       表示退化的2遍曲线:1对直线段P0P一和P一P二; 

vertices = dimension1:72 dimension2:72
u = from (-PI*0.499) to (-PI*0.01) dimension1
v = from 0 to (2*PI) dimension2
a = rand2(1, 5)
b = rand2(1, 5)
c = rand2(1, 5)
x = a*cosh(u)*cos(v)
z = b*cosh(u)*sin(v)
y = c*sinh(u)

10

v K∈[0,1];  表示双曲线; 

 

**号下a在数轴上的职位**

v K=1;       表示抛物线; 

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11

v K∈[1, +∞]; 表示椭圆; 

(七)直线 随机旋转面

勾股定理及其表达

v K=+∞;     表示连接P0和P二的直线段; 

vertices = 100
u = from -10 to 10

a = rand2(-5, 5)
b = rand2(-5, 5)

x = u
y = (x + a) + b

i = rand2(-2, 2)
j = rand2(-2, 2)
k = rand2(-2, 2)

surface_slices = 72
rotate = anchor[0, 0, 0], axis[i, j, k], angle[0, 2*PI]

12

习认为常上大家选择ω0=ω贰=一名字为标准参数化。此时只剩余调控顶点P1的权因子ω一。 

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勾股“树”

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13

Figure 叁.1 分歧的权因子ω壹 定义的圆锥截线 

**平安滚动的正多边形**

由3次有理Bezier曲线公式可见,当u=0和u=一时,C(0)=P0,
C(一)=P二,即曲线通过特色多边形的首末顶点。因而可显著抛物线的两个调整顶点P0和P二,以往只剩余最终2个P1顶点未规定。 


由端点处的切矢公式可见,调节多边形通过首末端点且第二个调控顶点P一是由此两端点的切线的交点。依据直接线点向式能够列出直线方程来求出交点即P一点的坐标。 

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弧长等于半径的弧,其所对的圆心角为壹弧度。

算算得交点P一的坐标如下所示: 

图片来自:LucasVB(一ucasvb)

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依照双曲线的参数方程得: 

函数广播体操

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将上述值代入交点坐标公式得交点P一的坐标与参数u的关系式为: 

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sin和cos的竞逐玩耍

基于肩点公式及点P一,可总括出权因子的ω一值,公式如下所示: 

图表笔者:LucasVB(一ucasvb

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求得P一点对应的权因子ω一的值为: 

正弦余弦的空间显得

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迄今,双曲线的多个调控顶点P0,P一,P二都已计算出来了。即双曲线的NURBS表示所需的数额都已经获得了。下边看看OpenCASCADE中的完毕代码。 

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4. Code Analysis

正切线

OpenCASCADE的Math工具集中有个包Covert用来将圆锥曲线曲面调换为NURBS曲线曲面。其中间转播换双曲线的类为:Convert_HyperbolaToBSplineCurve,完毕代码如下所示: 

19

//=======================================================================
//function : Convert_HyperbolaToBSplineCurve
//purpose  : 
//=======================================================================

Convert_HyperbolaToBSplineCurve::Convert_HyperbolaToBSplineCurve 
  (const gp_Hypr2d&    H , 
   const Standard_Real U1,
   const Standard_Real U2 )

: Convert_ConicToBSplineCurve (MaxNbPoles, MaxNbKnots, TheDegree) 
{
  Standard_DomainError_Raise_if( Abs(U2 - U1) < Epsilon(0.),
                "Convert_ParabolaToBSplineCurve");

  Standard_Real UF = Min (U1, U2);
  Standard_Real UL = Max( U1, U2);

  nbPoles = 3;
  nbKnots = 2;
  isperiodic = Standard_False;
  knots->ChangeArray1()(1) = UF;  mults->ChangeArray1()(1) = 3;  
  knots->ChangeArray1()(2) = UL;  mults->ChangeArray1()(2) = 3;  

  // construction of hyperbola in the reference xOy.

  Standard_Real R = H.MajorRadius();
  Standard_Real r = H.MinorRadius();
  gp_Dir2d Ox = H.Axis().XDirection();
  gp_Dir2d Oy = H.Axis().YDirection();
  Standard_Real S = ( Ox.X() * Oy.Y() - Ox.Y() * Oy.X() > 0.) ?  1 : -1;

  // poles expressed in the reference mark
  // the 2nd pole is at the intersection of 2 tangents to the curve
  // at points P(UF), P(UL)
  // the weight of this pole is equal to : Cosh((UL-UF)/2)

  weights->ChangeArray1()(1) = 1.;
  weights->ChangeArray1()(2) = Cosh((UL-UF)/2);
  weights->ChangeArray1()(3) = 1.;

  Standard_Real delta = Sinh(UL-UF);
  Standard_Real x =     R * ( Sinh(UL) - Sinh(UF)) / delta;
  Standard_Real y = S * r * ( Cosh(UL) - Cosh(UF)) / delta;
  poles->ChangeArray1()(1) = gp_Pnt2d( R * Cosh(UF), S * r * Sinh(UF));
  poles->ChangeArray1()(2) = gp_Pnt2d( x, y);
  poles->ChangeArray1()(3) = gp_Pnt2d( R * Cosh(UL), S * r * Sinh(UL));

  // replace the bspline in the mark of the hyperbola
  gp_Trsf2d Trsf;
  Trsf.SetTransformation( H.Axis().XAxis(), gp::OX2d());
  poles->ChangeArray1()(1).Transform( Trsf);
  poles->ChangeArray1()(2).Transform( Trsf);
  poles->ChangeArray1()(3).Transform( Trsf);
}

圆和三角函数

由地点的代码可见,先安装曲线次数为二,再设置节点矢量为[UF,UF,UF,UL,UL,UL],即首参数UF和末参数UL的重数皆为三,由节点矢量可见调换后的NURBS曲线为Bezier曲线。(抛出格外的提醒音讯还没改过来,照旧抛物线的。) 


安装八个调控顶点及其对应的权因子,计算主要涉及到第二个调节顶点P一的权因子。 

20

终极依照有理Bezier曲线的仿射不改变性:对有理Bezier曲线进行旋转、平移和缩放转换,其表达式不改变,只是调节点爆发了更改。新的调节点能够因此对原调节点作调换获得。即要对有理Bezier曲线实行仿射转变,只需对其调整点作转变就能够。 

画抛物线

圆锥截线的调换类的选用是很简单的,且计量都是在构造函数中变成。上边给出二个将双曲线调换为NURBS曲线的实际示例来验证其用法。 

21

/*
*    Copyright (c) 2014 eryar All Rights Reserved.
*
*        File    : Main.cpp
*        Author  : eryar@163.com
*        Date    : 2014-10-06 20:46
*        Version : 1.0v
*
*    Description : OpenCASCADE conic to BSpline curve-Hyperbola.
*
*      Key words : OpenCascade, Hyperbola, BSpline Curve, Convert
*/

#define WNT
#include <gp_Hypr2d.hxx>

#include <Convert_HyperbolaToBSplineCurve.hxx>

#pragma comment(lib, "TKernel.lib")
#pragma comment(lib, "TKMath.lib")


void DumpConvertorInfo(const Convert_ConicToBSplineCurve &theConvertor)
{
    std::cout << "Degree: " << theConvertor.Degree() << std::endl;

    std::cout << "Poles/Weights: " << std::endl;
    for (Standard_Integer i = 1; i <= theConvertor.NbPoles(); ++i)
    {
        const gp_Pnt2d &aPole = theConvertor.Pole(i);

        std::cout << i << ": " << aPole.X() << ", " << aPole.Y() << " w(" << theConvertor.Weight(i) << ")" << std::endl;
    }

    std::cout << "Knots: " << std::endl;
    for (Standard_Integer j = 1, m = 0; j <= theConvertor.NbKnots(); ++j)
    {
        for (Standard_Integer k = 1; k <= theConvertor.Multiplicity(j); ++k)
        {
            std::cout << ++m << ": " << theConvertor.Knot(j) << std::endl;
        }
    }

    std::cout << "==========================================" << std::endl;
}

void TestHyperbolaConvert(void)
{
    gp_Hypr2d aHyperbola;

    aHyperbola.SetMajorRadius(2.0);
    aHyperbola.SetMinorRadius(1.0);

    Convert_HyperbolaToBSplineCurve aConvertor(aHyperbola, 1.0, M_PI);

    std::cout << "Convert Hyperbola to BSpline Curve: " << std::endl;
    DumpConvertorInfo(aConvertor);
}

int main(int argc, char* argv[])
{
    TestHyperbolaConvert();

    return 0;
}

双曲线

次第输出结果如下所示: 

22

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圆锥曲线

Figure 4.1 Convert Hyperbola to BSpline Curve result 

23

5. Conclusion

美妙的数学之心

NURBS的贰个优势正是统一了曲线曲面包车型客车象征方法,即不仅能够象征自由曲线曲面,还可精确表示圆锥曲线曲面。本文详细介绍了OpenCASCADE中将双曲线调换为NURBS的算法:即依据1回有理Bezier曲线的端点性质,求出过八个端点切线的交点来估测计算出第1个调节顶点P一进而总结出相应的权因子。 


计量中山大学量用到到了双曲函数shx和chx的有的属性,相美髯公式可参看《数学手册》。 

24

6. References

单叶双曲面

  1. 人教社中学数学室. 数学第1册(上). 人教社. 两千 

  2. 数学手册编写组. 数学手册. 高教出版社. 1玖七八 

  3. 赵罡,穆国旺,王拉柱译. 非均匀有理B样条. 哈工业余大学学东军大学出版社. 20拾 

  4. 王仁宏,李崇君,朱春钢. 计算几何教程. 科学出版社. 二零零六

(都柏林电视机塔“小蛮腰”)

PDF Version: OpenCASCADE Conic to BSpline
Curves-Hyperbola

25

**矩阵转置**


26

**尺规作图正三角形**


27

尺规作图正5边形


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尺规作图正6边形

29

最速降线

30

旋轮线(摆线)

(那张图纸源于徐小湛的博客)

31

心形线(当七个圆半径相等时的圆外旋轮线)

32

定积分的近似总计

33

二重积分的黎曼和

(那张图片来源徐小湛的博客)

34

Koch曲线(雪花曲线)

(那张图片来源Matrix6七的博客)

35

Dragon curve

(那张图纸源于Matrix6柒的博客)

36

可是长方形

37

**平面和圆环面包车型大巴一种特殊交线:比利亚rceau circles**

38

三维分形

39

布朗树

40、

傅立叶转变

41

正劈锥体

(那张图片来自徐小湛的博客)

42

维维安尼曲线

(这张图影片来源于徐小湛的博客)

43

等速螺线(阿基米德螺线)


(那张图片来自徐小湛的博客)

44

不容许图形

45

极坐标的法力

图片我:LucasVB(一ucasvb)

是还是不是1念之差认为

数学也好有意思哦!

。。。

小编:微信公众号“木木西里”

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